Il paradosso di Zenone quantistico è la seguente osservazione: mettiamo su un fornello una pentola quantistica con un coperchio sopra. Se continuo a sollevare il coperchio per vedere se l’acqua bolle, l’acqua non bollirà mai. La motivazione è schematicamente la seguente:
- la pentola si trova inizialmente nello stato “non bolle”
- ogni volta che osservo se bolle o meno la funzione d’onda collassa
- poiché inizialmente la pentola “non bolle”, se le osservazioni sono molto rapide, la funzione d’onda ricollassa ogni volta in “non bolle”
Di qui i calcoli. Supponiamo che il nostro sistema sia descritto da un’hamiltoniana $H$ con autostati di energia $E_1, E_2, \ldots$. Chiamiamo $Q$ l’operatore che ci dice se la pentola bolle (autovalore $-1$) o no (autovalore $+1$).
Cos’è $Q$? In realtà non è rilevante: se è hermitiano, allora è in linea di principio osservabile. Quindi scegliamo direttamente gli autostati di $Q$ in base a quelli di $H$. Prendiamo la soluzione più semplice:
$$ \psi_{+} = \frac{\psi_1+\psi_2}{\sqrt{2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \psi_{-} = \frac{\psi_1-\psi_2}{\sqrt{2}}$$
Inizialmente la pentola si trova nello stato $\Psi(0) = \psi_{+}$ (non bolle). Per cui al tempo $t$ lo stato sarà dato dalla soluzione dell’equazione di Schrodinger, cioè:
\begin{align*}
\Psi(t) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_1 e^{-i E_1 t /\hbar}+ \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_2 e^{-i E_2 t /\hbar}=\\
&=\frac{1}{2} \psi_{+} (e^{-i E_1 t /\hbar}+e^{-i E_2 t /\hbar})+ \frac{1}{2} \psi_{-} (e^{-i E_1 t /\hbar}-e^{-i E_2 t /\hbar})
\end{align*}
Perciò la probabilità di misurare di nuovo “non bolle” (cioè $+$) al tempo $t$ è:
\begin{align*}
P_{+}(t) &= \frac{1}{4} \abs{e^{-i E_1 t /\hbar}+e^{-i E_2 t /\hbar}}^2 = \frac{1}{4} \pqty{1 + 1 + e^{-i (E_2-E_1) t /\hbar}+e^{-i (E_1-E_2) t /\hbar}}=\\
&= \frac{1}{2} \bqty{ 1+\cos\left(\frac{E_1-E_2}{\hbar} t\right)}
\end{align*}
In base a questa formula, se lasciata stare senza misurazione la pentola “bollirà” (cioè misureremmo $-1$ con probabilità $1$) al tempo $t=\pi \hbar / \abs{E_2-E_1}$.
Se invece ne misuriamo lo stato ad intervalli regolari di tempo, ogni $t=T/N$ dove $N$ è grande, il coefficiente di $\psi_{+}$ è
$$\frac{1}{2} (e^{-i E_1 t /\hbar}+e^{-i E_2 t /\hbar}) = 1-\frac{i (E_1+E_2) T}{2\hbar N}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right) $$
Quindi la probabilità di misurare $+$ se alla misura precedente abbiamo ottenuto $+$ è:
\begin{align*}
P &=\left| 1-\frac{i (E_1+E_2) T}{2\hbar N}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)\right|^2=\\
&=1+\frac{(E_1+E_2)^2 T^2}{4\hbar^2 N^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)=1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)
\end{align*}
Poiché la funzione d’onda collassa tra osservazioni successive la probabilità di misurare + al tempo $T$, cioè dopo $N$ osservazioni è:
$$P^N =\left[1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)\right]^N = 1 + N\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)+N^2 \mathcal{O}\left(\frac{1}{N^4}\right)+\cdots= 1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{N}\right)$$
Quindi in particolare se il tempo tra le osservazioni tende a $0$, cioè $N\to \infty$, allora la probabilità di misurare $+1$, cioè “non bolle” è $1$. Il paradosso ricorda quello di Zenone perché suddividiamo l’intervallo $T$ in $N$ intervallini $T/N$ minuscoli. Questo fenomeno è riscontrato sperimentalmente.