L’equazione di Helmholtz compare spesso in calcoli di fisica: ad esempio nella derivazione dei potenziali ritardati in elettromagnetismo, oppure in certi problemi di scattering in meccanica quantistica. L’equazione è della forma:
$$\nabla^2 f({\mathbf x}) +\lambda^2 f({\mathbf x}) = g({\mathbf x})$$
L’equazione pura corrisponde a $g=0$; per $g$ arbitrario abbiamo la versione forzata. Quest’ultima può essere risolta adoperando una funzione di Green. Infatti se $G({\mathbf x}; {\boldsymbol \xi})$ soddisfa:
$$\nabla^2 G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi}) +\lambda^2 G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi}) = \delta({\mathbf x}-{\boldsymbol \xi})$$
allora per un $g$ qualsiasi la soluzione dell’equazione di Helmholtz è data da:
$$f({\mathbf x}) = \int G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi}) g({\boldsymbol \xi}) d^3 {\boldsymbol \xi}$$
Si tratta quindi di determinare $G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi})$. Notiamo innanzitutto che stiamo cercando una soluzione su tutto $\mathbb{R}^3$, che è sfericamente simmetrico. Se poniamo l’origine in $\xi$, allora sia il Laplaciano che la funzione delta sono sfericamente simmetrici, e possiamo quindi assumere $G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi})=G(|{\mathbf x}-{\boldsymbol \xi}|)=G(r)$ dove abbiamo definito $r=|{\mathbf x}-{\boldsymbol \xi}|$.
Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche, l’equazione si riduce quindi a:
$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dG}{dr}\right) +\lambda^2 G = \delta(r)\tag{*}$$
Adesso siamo un po’ bloccati. Per procedere, vediamo come si comporta la funzione vicino a $0$, e per fare ciò integriamo in un intorno $r\leq \epsilon$. Otteniamo:
$$\int_{r\leq \epsilon} \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dG}{dr}\right) dr +\int_{r\leq \epsilon} \lambda^2 G dr= \int_{r\leq \epsilon} \delta(r) dr$$
$G$ dev’essere continua, altrimenti $G’ \propto \delta$ e quindi $G^{\prime\prime} \propto \delta’$, mentre dall’equazione $\pqty{*}$ al massimo $G^{\prime\prime} \propto \delta$. Poiché $G$ è continua, il secondo termine nel membro a sinistra tende a zero per $\epsilon \to 0$.
Il primo termine è l’integrale del laplaciano di $G$, quindi per il teorema della divergenza diventa un integrale di superficie:
\begin{align*}
\int_{r\leq \epsilon} \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dG}{dr}\right)&=\int_{r\leq \epsilon} \nabla^2 G \,dV=\int_{r = \epsilon} \nabla G \cdot dS =\\
&=\int_{r=\epsilon} \frac{\partial G}{\partial r} dS=4\pi \epsilon^2 \frac{\partial G}{\partial r}\lvert_{r=\epsilon}
\end{align*}
Nell’ultimo passaggio abbiamo portato fuori la derivata di $G$, perché dipende solo da $r$, che è costante sulla superficie $r = \epsilon$. Per semplicità di notazione rimpiazziamo $\epsilon$ con $r$. Mettendo insieme e calcolando il limite per $r\to 0$ l’equazione $(*)$ diventa:
$$\lim_{r\to 0} 4\pi r^2 \frac{\partial G}{\partial r}=1$$
Troviamo quindi che vicino allo zero $G’ \propto 1/r^2$ e quindi $G \propto 1/r$. Otterremmo quindi una versione semplificata dell’equazione rimuovendo quest’irregolarità di $G$ all’origine. Poniamo dunque $G=H/r$ (così che $H \propto 1$ vicino allo zero) e otteniamo sostituendo (per $r\neq 0$):
$$H^{\prime\prime}+\lambda^2 H = 0$$
L’equazione è di facile risoluzione, e da per $G$:
$$G = A \frac{e^{i\lambda r}}{r} + B\frac{e^{-i\lambda r}}{r}$$
Per ragioni fisiche che diventano ovvie nelle applicazioni, dobbiamo escludere la prima soluzione. Essa corrisponde a soluzioni “avanzanti” che influenzano il comportamento futuro della soluzione prima che l’informazione sul cambiamento possa arrivarvi data la velocità di propagazione. Al contrario il secondo termine corrisponde a soluzioni ritardate, che influenzano solo la zona che corrisponde alla velocità di propagazione dell’informazione (ad esempio, in sistemi relativistici, la velocità della luce). Alcuni autori chiamano questo requisito “causalità”. Un esempio di applicazioni di questo genere si trova in questo articolo.
Escludendo quindi la prima soluzione, possiamo determinare la costante rimanente ($B$) infilando l’equazione nella condizione al limite che abbiamo derivato sopra. Otteniamo:
$$\lim_{r\to 0} 4\pi r^2 B \left(-\frac{e^{-i\lambda r}}{r^2}-i \lambda \frac{e^{-i\lambda r}}{r}\right)=1$$
Pertanto $B = -1/(4\pi)$ e la funzione di Green è:
$$\boxed{G({\mathbf x};{\boldsymbol \xi}) = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{-i\lambda |{\mathbf x}-{\boldsymbol \xi}|}}{|{\mathbf x}-{\boldsymbol \xi}|}}$$