Nella puntata precedente abbiamo visto tra le altre cose il moto di un corpo accelerato in relatività ristretta. Adesso vogliamo introdurre le forze; ma ci servono delle forze invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Ne conosciamo due fondamentali: la gravità e l’elettromagnetismo. Per la prima serve la relatività generale, quindi ci occupiamo dell’altra.
Ci interessa scrivere le equazioni di Maxwell in termini di quadrivettori, così siamo sicuri che l’elettromagnetismo sia invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Come facciamo?
Abbiamo due campi, ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$. Dalla relatività ristretta sappiamo che i due “si mescolano” quando vengono soggetti ad una trasformazione di Lorentz, quindi ci serve un oggetto che li includa entrambi. Ognuno ha tre componenti e quindi in totale sei, che sono più dei quattro di un quadrivettore: ci serve più spazio, cioè più indici. Proviamo a metterli in una matrice, cioè in un oggetto con più indici. Una matrice $4 \times 4$ ha $16$ componenti, troppi; dobbiamo imporre delle restrizioni. Se la scegliessimo simmetrica? Avrebbe $6+4=10$, ancora troppi. Antisimmetrica? La diagonale è zero, quindi abbiamo esattamente $6$ componenti! Che bello. Il tensore elettromagnetico è definito come:
$$F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x / c & -E_y / c & -E_z / c\\
E_x / c & 0 & B_z & -B_y\\
E_y / c & -B_z & 0 & B_x\\
E_z / c & B_y & -B_x & 0\\
\end{pmatrix}$$
Vediamo che è antisimmetrico come abbiamo detto prima. Perché proprio così? Perché se trasformiamo i campi ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$ in un nuovo sistema di riferimento, allora i nuovi campi $\tilde {\textbf{E}}$ e $\tilde{\textbf{B}}$ formano un tensore elettromagnetico $\tilde{F}$ che rispetta la giusta relazione:
$$\tilde{F}_{\mu \nu} = \Lambda^{\,\,\,\,\alpha}_{\mu} \Lambda^{\,\,\,\,\beta}_{\nu} F_{\alpha \beta}$$
La forma del tensore elettromagnetico è anche suggerita dai potenziali elettromagnetici, come vediamo adesso. Possiamo verificare che quest’ultima equazione dà la forma corretta delle trasformazioni di Lorentz per $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$.
Le equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell oltre ai campi ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$ contengono anche le “sorgenti” $\rho$ (densità di carica) e ${\textbf J}$ (densità di corrente). Queste hanno $1 + 3=4$ componenti, e quindi c’è speranza di ficcarle in quadrivettore. Infatti abbiamo la quadricorrente:
$$J^\mu = \begin{pmatrix} c \rho \\ {\textbf J} \end{pmatrix}$$
Perché proprio così? La solita solfa: se trasformiamo i componenti secondo le leggi della relatività ristretta, otteniamo che $J^\mu$ trasforma correttamente come un quadrivettore.
E ora come scriviamo le equazioni di Maxwell? La risposta è la seguente:
$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu$$
Mettendo diversi valori dell’indice libero ($\nu$) otteniamo la legge di Gauss e la legge di Ampère. Mancano però le altre due, cioè
$$\nabla \cdot {\textbf B} = 0\\
\nabla \times {\textbf E} = -\frac{\partial {\textbf B}}{\partial t}$$
Notiamo che non contengono correnti né cariche. Queste equazioni possono essere sistemate alla maniera seguente. Per la decomposizione di Helmholtz, la prima equazione implica ${\textbf B} = \nabla \times {\textbf A}$ per un qualche “potenziale vettore” ${\textbf A}$. Sostituendo nella seconda equazione, otteniamo:
$$\nabla \times \left({\textbf E}+\frac{{\partial \textbf A}}{\partial t}\right) = 0$$
Quindi sempre per la decomposizione di Helmholtz, possiamo scrivere:
$${\textbf E}=-\nabla \phi -\frac{{\partial \textbf A}}{\partial t}$$
dove $\phi$ è un “potenziale scalare”, e il segno meno è convenzionale, come siamo abituati per il potenziale in elettrostatica.
Che ce ne facciamo? Magia delle magie: ${\textbf A}$ ha tre componenti, e $\phi$ uno solo. A questo punto sappiamo la storia: formano un quadrivettore. Infatti poniamo:
$$A^\mu = \begin{pmatrix} \phi / c \\ {\textbf A} \end{pmatrix}$$
A questo punto notiamo che
$$E_1 / c = -(\nabla \phi)_1 / c -\frac{\partial {\textbf A_1} / c}{\partial t}=\partial_1 A_0-\partial_0 A_1\\
E_2 / c = \partial_2 A_0-\partial_0 A_2$$
Eccetera. Dato che $E_1 / c = F_{01}$, $E_2 / c = F_{02}$, possiamo indovinare:
$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_\nu -\partial_\nu A_\mu$$
Possiamo fare i conti per tutti i componenti e vediamo che la formula funziona correttamente.
Se $A_\mu$ esiste, ciò implica le ultime due equazioni di Maxwell. Pertanto le abbiamo ridotte tutte e quattro in due:
\[
\boxed{\begin{aligned}
\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu\\
F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_\nu -\partial_\nu A_\mu
\end{aligned}}
\]
Il principale vantaggio è che queste equazioni sono manifestamente covarianti, cioè sono scritte usando solo tensori e operazioni lecite tra tensori. Essendo equivalenti alle leggi di Maxwell, possiamo concludere che le equazioni di Maxwell sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz.
Usare le equazioni di Maxwell covarianti
Rimangono due problemi:
- Come calcolare i campi (cioè $F$) a partire dalle sorgenti (cioè $J$).
- Come calcolare le equazioni del moto a partire dai campi.
Per calcolare i campi, cioè $F$, possiamo risolvere esattamente le equazioni di Maxwell in termini di $A$ e quindi ottenere $F$. Lo vediamo in un altro articolo.
Il secondo problema è anch’esso facilmente risolto. In elettrodinamica classica l’equazione del moto è l’equazione di Lorentz:
$$\frac{d{\textbf p}}{dt} = q({\textbf E}+{\textbf v} \times {\textbf B})$$
Dobbiamo trovare un’equazione puramente tensoriale che si riduce all’equazione di Lorentz nel limite non relativistico. Ci lasciamo guidare dagli indici: a sinistra rimpiazziamo ${\textbf p}$ con $p^\mu$ e $t$ con $\tau$, mentre a destra ci serve il prodotto tensoriale tra una quantità che è circa $E$ o $B$ e la velocità. Il più semplice prodotto del genere è $F^{\mu\nu} u_\nu$. Quindi tirando a indovinare diciamo che l’equazione relativistica del moto è:
$$\frac{d p^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu$$
che è la scelta giusta: possiamo verificarlo scrivendo esplicitamente i componenti. Possiamo applicare questa legge per trovare il moto relativistico di un corpo in presenza di campi elettromagnetici, un calcolo che trovate qui nel caso in cui i campi siano costanti.
tutto ottimo