Nell’articolo precedente abbiamo visto cos’è un quadrivettore. Adesso vediamo cos’è davvero un quadrivettore.
Supponiamo di avere un sistema di riferimento $S$ con coordinate $(t,x,y,z)$ e un sistema di riferimento $\tilde{S}$ con coordinate $(\tilde{t},\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})$. Come al solito $\tilde{S}$ si muove con velocità $v$ lungo l’asse $x$ di $S$. Dato che adesso esprimiamo tutto in termini di quadrivettori, dovremmo riuscire ad esprimere una trasformazione di Lorentz tra $S$ e $\tilde{S}$ nei termini di una relazione tra $x^\mu$ e $\tilde{x}^\mu$. Siccome abbiamo due vettori, la relazione tra di loro non può che essere espressa se non da una matrice! Ovvero
$$\tilde{x}^\mu = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu} x^\nu$$
dove la matrice $\Lambda$ è:
$$\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu} = \begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0\\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}$$
In termini dei componenti di $x^\mu$ e $\tilde{x}^\mu$ abbiamo infatti
\begin{cases}
c \tilde{t} = \gamma ( ct-vx/c) \\
\tilde{x} = \gamma(x-vt)\\
\tilde{y} = y\\
\tilde{z} = z
\end{cases}
che è esattamente una trasformazione di Lorentz. Ciò ci convince che la forma che abbiamo scelto per $\Lambda$ è quella corretta. Notiamo che $\Lambda$ ha un indice sopra e un indice sotto perché spara un vettore su un altro vettore; se avesse avuto due indici sotto, ad esempio, avrebbe sparato un vettore su un covettore.
Stavolta è facile calcolare la matrice inversa: sarà la stessa matrice, ma con $-v$ al posto di $v$. La chiamiamo, per convenzione, $\Lambda^{\,\,\,\mu}_{\nu}$. La differenza tra le due è che nella prima il primo indice sta in alto; nella seconda il primo indice sta in basso. Abbiamo quindi:
$$(\Lambda^{-1})^{\mu}_{\,\,\,\nu} = \Lambda^{\,\,\,\mu}_{\nu}$$
$$\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\gamma} \Lambda^{\,\,\,\gamma}_{\nu} = \delta_\nu^\mu$$
Abbiamo visto come trasforma un vettore. Come trasforma un covettore? Ad esempio la derivata parziale. Usando la regola della catena abbiamo
$$\tilde{\partial}_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial \tilde{x}^\mu} \partial_\nu = \Lambda^{\,\,\,\nu}_{\mu} \partial_\nu$$
Cioè trasforma con la matrice inversa. Quindi in generale:
- gli oggetti con gli indici sopra trasformano con la matrice diretta;
- gli oggetti con indici sotto trasformano con la matrice inversa.
Possiamo dare altri esempi di quadrivettori. Ricordiamo che $\tau$, il tempo proprio, è definito come $dt/d\tau = \gamma$. Allora la quadrivelocità è per definizione:
$$u^\mu = \frac{d x^\mu}{d\tau} = \begin{pmatrix} c \gamma \\ \gamma {\textbf v} \end{pmatrix}$$
Possiamo anche definire il quadrimpulso:
$$p^\mu = m u^\mu = \begin{pmatrix} E/c \\ {\textbf p} \end{pmatrix}$$
dove $m$ è la massa a riposo: in questo formalismo non c’è altra massa. Come trasformano $u$ e $p$ soggetti ad una trasformazioni di Lorentz? La trasformazione di Lorentz è una matrice (due indici, uno sopra e uno sotto). Poiché $u^\mu$ ha un’indice sopra e anche $\tilde{u}^\mu$ ha un’indice sopra, l’unico modo di accoppiarli è:
$$\tilde{u}^\mu = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu} u^\nu$$
Potete fare i conti con le usuali regole di relatività ristretta e verificare che danno lo stesso risultato. Se invece volessimo trasformare $u_\nu$? Semplice. Basta usare la matrice inversa:
$$\tilde{u}_\mu = \Lambda^{\,\,\,\nu}_{\mu} u_\nu$$
E se invece di avere un solo indice ne avessimo più d’uno? Facile: mettiamo un $\Lambda$ per ogni indice sopra e un $\Lambda^{-1}$ per ogni indice sotto. Ad esempio, un oggetto a caso $A^{\mu\,\,\,\nu}_{\,\,\,\gamma}$ con tre indici trasforma come:
$$\tilde{A}^{\mu\,\,\,\nu}_{\,\,\,\gamma} = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\alpha} \Lambda^{\,\,\,\gamma}_{\beta} \Lambda^{\nu}_{\,\,\,\delta} A^{\alpha\,\,\,\delta}_{\,\,\,\beta}$$
Un oggetto con un numero arbitrario di indici è chiamato tensore. Quest’ultima formula è una zuppa di indici, ma in questo formalismo le leggi di trasformazione sono completamente determinate da dove si trova l’indice: sopra o sotto.
Come trasformano le matrici speciali che abbiamo visto nell’articolo precedente? Vediamo subito. La delta di Kronecker ha un indice sopra e uno sotto, quindi diventa
$$\tilde{\delta}_\nu^\mu = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\,\alpha} \Lambda^{\,\,\,\,\beta}_{\nu} \delta_\beta^\alpha =\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\,\alpha} \Lambda^{\,\,\,\,\alpha}_{\nu} = \delta_\nu^\mu $$
quindi la delta di Kronecker è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Ciò non ci stupisce, perché la delta di Kronecker rappresenta la matrice identità, che dovrebbe essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento.
E la metrica? Ha due indici sotto, quindi:
$$\tilde{\eta}_{\mu \nu} = \Lambda^{\,\,\,\,\alpha}_{\mu} \Lambda^{\,\,\,\,\beta}_{\nu} \eta_{\alpha \beta} \overset{!}{=} \eta_{\mu \nu}$$
Questa cosa è altamente non banale ma è vera: la metrica è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Anzi questa è la definizione vera e propria: una trasformazione di Lorentz è una trasformazione che lascia invariata la metrica di Minkowski. Per convicervi provate a fare i calcoli con la matrice $\Lambda$ sopra.
Invarianti di Lorentz
E se un oggetto ha zero indici? C’è un solo modo in cui questi possano accoppiarsi con la matrice della trasformazione di Lorentz, cioè non accoppiarsi affatto. Uno scalare è per forza invariante. Ad esempio se $p^\mu$ è il quadrimomento, possiamo formare $p^\mu p_\mu$. Questo è uno scalare, perché l’indice $\mu$ è ripetuto, e quindi serve solo come indice per la somma. Poiché non c’è nessun indice libero, sappiamo già che $p^\mu p_\mu$ è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz.
Questa proprietà può essere usata per ricavare relazioni utili. In generale, espandendo $p$ nei suoi componenti, $p^\mu p_\mu = -E^2 / c^2 + \vec{p}^2$. Nel sistema a riposo la particella non ha velocità, quindi $\vec{p} = 0$ e $E=mc^2$. Quindi nel sistema a riposo $p^\mu p_\mu = -m^2 c^2$. Ma $p^\mu p_\mu$ è invariante di Lorentz, quindi $- E^2 / c^2 + p^2 = -m^2 c^2$, ovvero $E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2$, la familiare formula per l’energia relativistica.
Il moto di un corpo con accelerazione costante
Concludiamo con un esempio di come usare questi concetti calcolando il moto di un corpo in accelerazione costante (è falso dire che c’è bisogno della relatività generale). Per semplicità poniamo $c=1$.
Se $u^\mu$ è la quadrivelocità del corpo, a riposo $u^\mu = (1, {\textbf 0})$ e quindi $u^\mu u_\mu = -1$. Quindi $\frac{d}{dt} (u^\mu u_\mu) = 0$ e per la regola della catena $2 u_\mu \frac{d u^\mu}{dt} = 0$. Ciò vuol dire che $u_\mu a^\mu = 0$, dove $a^\mu$ è la quadriaccelerazione. Pertanto nel sistema di riferimento dove la particella è istantaneamente a riposo, poiché $u^\mu = (1, {\textbf 0})$, dobbiamo avere $a^\mu = (0, a_1, a_2, a_3)$. Supponiamo che l’accelerazione sia diretta nella direzione $x$, cioè poniamo $a_1 = a$ e $a_2 = a_3 = 0$.
Usando la matrice di Lorentz trasformiamo i due vettori in un sistema in cui la particella va istantaneamente ad una velocità $v$:
$$\tilde{u}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \tilde{a}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma v a\\ \gamma a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Poiché $a^\mu$ e $u^\mu$ sono tensori, cioè trasformano nel modo corretto, allora anche nel nuovo sistema abbiamo $\tilde{a}^\mu=\frac{d \tilde{u}^\mu}{d\tau}$, cioè
$$\tilde{a}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma v a\\ \gamma a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{d \tilde{u}^\mu}{d\tau} = \frac{d}{d\tau} \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma^3 v \\ \gamma^3 v^2 +\gamma \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \frac{dv}{d\tau}= (\gamma)^3 \frac{dv}{d\tau} \begin{pmatrix} v \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Quindi otteniamo $\gamma a = \gamma^3 dv/d\tau$, cioè $\frac{dv}{d\tau}=\frac{a}{\gamma^2}$. Poiché $dt/d\tau=\gamma$ per definizione, possiamo cambiare variabile da $\tau$ a $t$ ottenendo
$$\frac{dv}{dt} = a (1-v^2)^{3/2}$$
Supponendo $v=0$ al tempo $t=0$ otteniamo integrando:
$$v = \frac{a t}{\sqrt{1+a^2 t^2}}$$
e supponendo ancora $x=0$ quando $t=0$ abbiamo:
$$x = \frac{\sqrt{1+a^2 t^2}-1}{a}$$
Per $t\to \infty$ come ci aspettiamo $x\to \infty$ ma $v\to 1$, cioè $v\to c$, ovvero la velocità aumenta sempre ma non raggiunge mai la velocità della luce. Inoltre per $a$ piccolo possiamo espandere la soluzione ottenendo $x= \frac12 a t^2$ e $v=at$, cioè la soluzione non-relativistica.