Un gas di particelle in equilibrio termodinamico ha una specifica distribuzione delle velocità, cioè la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. In questo articolo presentiamo una derivazione di questa distribuzione che si basa su una singola ipotesi, cioè l’isotropia del sistema.
Chiamiamo $\phi(v_x)$ la distribuzione delle velocità in direzione $x$ sia data dalla funzione. Il problema ha simmetria sferica, nel senso che se guardiamo in due direzioni prese a caso vediamo più o meno le stesse cose (ovvero, è isotropo). Pertanto la distribuzione nelle altre due direzioni sarà data dalla stessa funzione, $\phi(v_y)$ e $\phi(v_z)$. Ma la simmetria rotazionale implica anche che la distribuzione non dipende dalla specifica direzione ma solo dal modulo della velocità $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$. Quindi la distribuzione è data da una qualche funzione $F(v)$ tale che:
$$F(v) = \phi(v_x) \phi(v_y) \phi(v_z)\tag{*}$$
dove il membro destro è la distribuzione congiunta delle velocità nelle tre direzioni. Sorprendentemente, la relazione $\pqty{*}$ ha un’unica soluzione. Vediamo di dimostrarlo.
Prima di tutto notiamo che ponendo $v_y=v_z=0$ otteniamo $F(v_x)=A^2 \phi(v_x)$ dove $A = \phi(0)$. Risostituendo resta solo $\phi$ nel problema:
$$A^2 \phi(v) = \phi(v_x) \phi(v_y) \phi(v_z)$$
Essendo $\phi$ una distribuzione di probabilità, è positiva. Qual è la funzione positiva per eccellenza? L’esponenziale. Quindi per rimuovere il vincolo della positività di $\phi$ scriviamo senza perdita di generalità $\phi(t) = A\exp(f(t))$. Sostituendo sparisce anche la costante, il che fa piacere, e otteniamo:
$$f(v) = f(v_x)+f(v_y)+f(v_z)$$
Ora sostituiamo $v_x=v_y=v_z=\lambda$, così $v=\lambda \sqrt{3}$ e otteniamo:
$$f(\sqrt{3}\lambda)=3f(\lambda)$$
Per $\lambda = 0$ otteniamo $c(0)=0$. Derivando rispetto a $\lambda$ otteniamo
$$f'(\sqrt{3}\lambda)=\sqrt{3} f'(\lambda)$$
per cui $f'(0)=0$. Derivando di nuovo otteniamo un’identità, ma derivando ancora otteniamo la formula per $n \geq 0$:
$$\sqrt{3}^{n-2} f^{(n)}(\sqrt{3}\lambda)= f^{(n)}(\lambda)$$
e quindi $f^{(n)}=0$ per $n \geq 3$. L’unica derivata non zero è la seconda. Pertanto espandendo $f$ in una serie centrata in $0$ otteniamo $f(t) = B t^2$ per un qualche $B$. In termini di $\phi$ abbiamo quindi $\phi = A \exp(-B v^2)$, dove abbiamo introdotto un segno negativo per assicurarci che la distribuzione decada a grandi velocità, cosicché possiamo prendere $B>0$. Pertanto la distribuzione della velocità è
$$\phi(v_x) \phi(v_y) \phi(v_z) dv_x dv_y dv_z = F(v) dv_x dv_y dv_z = 4\pi v^2 F(v) dv = 4\pi A^3 v^2 \exp(-B v^2) dv$$ e possiamo normalizzarla a $1$ ottenendo $A = \sqrt{B/\pi}$. Notiamo che abbiamo assunto poche cose per derivare il risultato: pertanto questa distribuzione vale per ogni tipo di gas: in equilibrio, monoatomico, biatomico, decatomico, con o senza interazioni, purché rispetti la simmetria sferica. Ciò che cambia tra questi tipi gas è il coefficiente $B$.
Nel caso di un gas monoatomico, l’energia media è data da:
$$E = \int_0^\infty \pqty{\frac{1}{2} m v^2} 4\pi A^3 v^2 \exp(-B v^2) dv = \frac{3m}{4B}$$
dove l’integrale $ \int_0^\infty v^4 \exp(-B v^2) dv = \frac{3\sqrt{\pi}}{8 B^{5/2}}$ può essere calcolato usando il trucco di Feynman e quindi ricordandosi che $A = \sqrt{B/\pi}$ un sacco di cose si cancellano e otteniamo il risultato sopra. Un gas monoatomico ha solo tre gradi di libertà, quindi per l’equipartizione dell’energia
$$E = \frac{3}{2} k T$$
e quindi $B = m / 2 k T$ che è il risultato corretto. Potremmo effettuare lo stesso calcolo con altri tipi di gas e derivare così la distribuzione di velocità.