Una sfera dielettrica di raggio $R$ e permittività elettrica relativa \(\epsilon\) è posta in un campo elettrico esterno $\mathbf{E}_0$. Fuori dalla sfera c’è il vuoto, con permittività $\epsilon_0$. Qual è il campo elettrico all’interno della sfera?
Poiché siamo in assenza di cariche e correnti, le equazioni di Maxwell sono:
\(\nabla \cdot \mathbf{E}=0\)
\(\nabla\times \mathbf{E}=0\)
La seconda equazione implica $\mathbf{E}=-\nabla V$ dove $V$ è il potenziale elettrico. Risostituendo nella prima equazione otteniamo $\nabla^2 V=0$, l’equazione di Laplace.
Ora scegliamo un sistema di coordinate in cui il campo $\mathbf{E}_0$ è rivolto in direzione $\hat{z}$, cosicché $\mathbf{E}_0=E_0 \hat{z}$. Allora per la simmetria della sfera possiamo supporre che in coordinate sferiche il potenziale $V$ non dipenda dall’angolo $\phi$, ma solo da $r$ e $\theta$ (la dipendenza da $\theta$ deriva dal fatto che il campo esterno fornisce una direzione privilegiata). Sotto queste condizioni l’equazione di Laplace ammette una soluzione generale (detta assialsimmetrica):
$$V(r,\theta) = \sum\limits_{n=0}^\infty (A_n r^n + B_n r^{-(n+1)}) P_n (\cos\theta)$$
dove i \(P_n\) sono i polinomi di Legendre. L’equazione di Laplace dev’essere soddisfatta separatamente dentro e fuori la sfera, per cui più precisamente:
$$ V(r,\theta) = \begin{cases}
\sum\limits_{n=0}^\infty (A_n r^n + B_n r^{-(n+1)}) P_n (\cos\theta) & r<R\\
\sum\limits_{n=0}^\infty (C_n r^n + D_n r^{-(n+1)}) P_n (\cos\theta) & r>R\\
\end{cases}$$
Il potenziale dev’essere regolare all’origine, per cui $B_n=0$. All’infinito $\mathbf{E} \to \mathbf{E}_0$ per cui $V \to -E_0 r \cos\theta$ e quindi $C_1 = -E_0$, mentre tutti gli altri $C_n=0$.
Alla discontinuità tra interno ed esterno della sfera bisogna applicare due condizioni al contorno:
- la continuità del potenziale \(V\);
- la continuità della componente normale del vettore induzione elettrica, che in questo caso è \(\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}\)), dove $\epsilon$ è diversa dentro e fuori la sfera.
La seconda condizione è quella più importante e che determina la fisica della situazione. La continuità di \(V\) impone che
$$\sum\limits_{n=0}^\infty A_n R^n P_n (\cos\theta) = -E_0 R P_1(\cos\theta) + \sum\limits_{n=0}^\infty D_n R^{-(n+1)} P_n (\cos\theta)$$
Per cui (per l’ortogonalità dei polinomi di Legendre):
$$\begin{cases}
A_n = D_n R^{-(2n+1)}& n \neq 1\\
A_1 = -E_0+D_1 R^{-3} & n=1\\
\end{cases}\tag{1}$$
In termini del potenziale, la seconda condizione è
$$-\epsilon_0 \epsilon \frac{\partial V}{\partial r}\bigg\lvert_{r=R^-} = -\epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial r}\bigg\lvert_{r=R^+}$$
Abbiamo $\epsilon_0 \epsilon$ invece di solo $\epsilon$ perché abbiamo definito $\epsilon$ come la permittività elettrica relativa. Sostituendo l’espressione del potenziale otteniamo:
$$\epsilon \sum\limits_{n=0}^\infty n A_n R^{n-1} P_n (\cos\theta) = -E_0 P_1(\cos\theta) + \sum\limits_{n=0}^\infty [-(n+1)] D_n R^{-(n+2)} P_n (\cos\theta)$$
Ovvero:
$$\begin{cases}
\epsilon n A_n = -(n+1) D_n R^{-(2n+1)} & n \neq 1\\
\epsilon A_1 = -E_0 -2 D_1 R^{-3} & n=1\\
\end{cases}\tag{2}$$
Mettendo insieme le $\pqty{1}$ con le $\pqty{2}$ vediamo che l’equazione per \(n\neq 1\) può essere soddisfatta solo da \(A_n=D_n=0\). Per \(n=1\) invece otteniamo \(A_1 =-\frac{3}{2+\epsilon} E_0\) e \(D_1 =\frac{\epsilon-1}{2+\epsilon} R^3 E_0\). Pertanto
$$V(r,\theta) = \begin{cases}
-\frac{3}{2+\epsilon} E_0 r \cos\theta& r<R\\
-E_0 r \cos\theta + \frac{\epsilon-1}{2+\epsilon} \frac{R^3}{r^2} E_0 \cos\theta& r>R\\
\end{cases}$$
E quindi il campo elettrico è:
$${\mathbf E} = \begin{cases}
\frac{3}{2+\epsilon} {\mathbf E}_0 & r<R\\
{\mathbf E_0}+\frac{3({\mathbf p}\cdot \hat{{\mathbf r}})\hat{{\mathbf r}}-{\mathbf p}}{4\pi\epsilon_0 r^3} & r>R\\
\end{cases}$$
dove ${\mathbf p} = 4\pi\epsilon_0 \frac{\epsilon-1}{2+\epsilon} R^3 \mathbf{E}_0$ è un momento di dipolo. L’effetto della sfera dielettrica è quindi di ridurre il campo elettrico al suo interno (infatti essendo una permittività relativa, $\epsilon > 1$); inoltre all’esterno aggiunge al campo già presente il campo di un dipolo con momento $\mathbf{p}$.