Le equazioni di Maxwell sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz, ma non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo. Questo è uno dei motivi che portò allo sviluppo della relatività ristretta. Vediamo qui una dimostrazione di questo fatto.
Le trasformazioni di Galileo sono:
$$ \begin{cases}
t’ = t\\
x’ = x -vt\\
y’ = y\\
z’ = z\\
\end{cases}$$
dove $ (t, x, y, z) $ sono le coordinate di un sistema di riferimento $S$ e $ (t’, x’, y’, z’) $ sono le coordinate di un sistema di riferimento $S’$ che si sposta con velocità $v$ lungo l’asse $x$ di $S$.
Notiamo inoltre che le trasformazioni di Lorentz
$$ \begin{cases}
t’ = \gamma (t-vx/c^2)\\
x’ = \gamma (x -vt)\\
y’ = y\\
z’ = z\\
\end{cases}$$
si riducono alle trasformazioni di Galileo nel limite $c \to \infty$.
Come trasformano il campo elettrico e il campo magnetico soggetti ad una trasformazione di Galileo? Come ci informa Wikipedia, soggetti ad una trasformazione di Lorentz i campi ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$ trasformano secondo la legge:
$$ \begin{cases}
E_x’ = E_x & B_x^{\,\prime} = B_x\\
E_y’ = \gamma (E_y -v B_z) & B_y^{\,\prime} = \gamma (B_y + v E_z /c^2)\\
E_z’ = \gamma (E_z + v B_y) & B_z^{\,\prime} = \gamma (B_z -v E_y /c^2)\\
\end{cases}$$
Quindi portando $ c \to \infty$ otteniamo la trasformazione dei campi secondo Galileo:
$$ \begin{cases}
E_x’ = E_x & B_x^{\,\prime} = B_x\\
E_y’ = E_y -v B_z & B_y^{\,\prime} = B_y\\
E_z’ = E_z + v B_y & B_z^{\,\prime} =B_z \\
\end{cases}$$
Ora, se le equazioni di Maxwell fossero invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo, per ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$ che soddisfano le equazioni di Maxwell in $S$, allora ${\textbf E’}$ e ${\textbf B’}$ dovrebbero soddisfare le equazioni di Maxwell in $S’$. Questo deve valere per ogni soluzione ${\textbf E}, {\textbf B}$, per cui basta trovarne una per cui non vale e abbiamo dimostrato la non invarianza.
Prendiamo come soluzione quella di un’onda elettromagnetica nel vuoto lungo $x$ in $S$:
$${\textbf E} = {\textbf E_0} \cos(x-ct) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\textbf B} = {\textbf B_0} \cos(x-ct)$$
Perché questi campi soddisfino le equazioni di Maxwell in $S$ dobbiamo imporre delle condizioni sui vettori ${\textbf E_0}$ e ${\textbf B_0}$.
In particolare, $\nabla \cdot {\textbf E} = 0$ e $\nabla \cdot {\textbf B} = 0$ implicano che $E_{0x} = B_{0x} = 0$. Poi le altre due equazioni $\nabla \times {\textbf E} = -\frac{\partial {\textbf B}}{\partial t}$ e $\nabla \times {\textbf B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial {\textbf E}}{\partial t}$ impongono le ultime due condizioni $E_{0y} = c B_{0z}$ e $E_{0z}=-c B_{0y}$. Per semplicità scegliamo $B_{0y} = 0$ e chiamiamo $B_{0z} = B$, quindi i campi in $S$ sono in definitiva:
$${\textbf E} = (0, c B, 0) \cos(x-ct) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {\textbf B} = (0,0,B) \cos(x-ct)$$
Ora prendiamo $S’$ con velocità $v=c$ rispetto a $S$. In base alla formula che abbiamo derivato per le trasformazioni di Galileo, i campi in $S’$ sono:
$$ \begin{cases}
E_x’ = E_x = 0 & B_x’ = B_x = 0\\
E_y’ = E_y – c B_z = 0 & B_y’ = B_y = 0\\
E_z’ = E_z + c B_y = 0 & B_z’ =B_z = B \cos(x-ct) = B \cos(x’)\\
\end{cases}$$
Le equazioni di Maxwell in $S’$ sono:
$$ \begin{cases}
\nabla’ \cdot {\textbf E’} = 0\\
\nabla’ \cdot {\textbf B’} = 0\\
\nabla’ \times {\textbf E’} = -\frac{\partial B’}{\partial t’}\\
\nabla’ \times {\textbf B’} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial E’}{\partial t’}\\
\end{cases}$$
dove $\nabla’ = (\frac{\partial}{\partial x’},\frac{\partial}{\partial y’},\frac{\partial}{\partial z’})$, ovvero le derivazioni si fanno secondo le coordinate in $S’$.
La prima e la terza equazione sono soddisfatte automaticamente. Invece la seconda e la quarta sono soddisfatte solo se $B = 0$. Quindi in particolare abbiamo dimostrato che per $B\neq 0$ i campi in questione sono soluzione in $S$ ma non in $S’$.
Ovvero: esistono soluzioni delle equazioni di Maxwell in $S$ che trasformate in $S’$ non sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in $S’$. Possiamo concludere che le equazioni di Maxwell non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo. Questo non accadrebbe invece adoperando le trasformazioni di Lorentz: trasformando i campi da $S$ in $S’$, se essi sono soluzione in $S$, allora lo saranno anche in $S’$.